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九章算术-第1部分

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《九章算术》


九章算术注序(刘徽)

昔在庖犠氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六

爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后

两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而有

九数,九数之流,则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北

平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故

校其目则与古或异,而所论者多近语也。徽幼习《九章》,长再详览。观阴阳之

割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作

注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本榦知,发其一端而已。又所析理以

辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。且算在六艺,古者

以宾兴贤能,教习国子;虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方;至于以法相传,

亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未

必能综于此耳。《周官·大司徒》职,夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸,谓

之地中。说云,南戴日下万五千里。夫云尔者,以术推之。案:《九章》立四表

望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以

博尽群数也。徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝

深而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛阳

之城,令高八尺,南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法,表高乘表间

为实,实如法而一。所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法

而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即

日去人也。以径寸之筒南望日,日满筒空,则定筒之长短以为股率,以筒径为句

率,日去人之数为大股,大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度,又况泰山

之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于志,以

阐世术之美,辄造《重差》,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下。度高者

重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡

伏,靡所不入,博物君子,详而览焉。

卷一

○方田(以御田畴界域)

今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。

又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。

〔图:从十四,广十二。〕

方田术曰:广从步数相乘得积步。

〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义

同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名

责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者

举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之

本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存

善去非,略为料简,遗诸后学。〕

以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。

〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一

亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而

截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方,

凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。

二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕

今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。

又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。

里田术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。

〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即

得亩数也。〕

今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。

又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。

○约分

〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。

设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则

异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕

术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,

求其等也。以等数约之。

〔等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕

今有三分之一,五分之二,问合之得几何?答曰:十五分之十一。

又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?答曰:得一、六十三

分之五十。

又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?答曰:得

二、六十分之四十三。

○合分

〔淳风等按:合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。粗细

既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕

术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。

〔母互乘子。约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊,

然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母

互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐,

势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通

体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。然则齐同之术要矣:错

综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同

以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕

实如法而一。不满法者,以法命之。

〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其余以等数约之,即得

知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕

其母同者,直相从之。

今有九分之八,减其五分之一,问余几何?答曰:四十五分之三十一。

又有四分之三,减其三分之一,问余几何?答曰:十二分之五。

○减分

〔淳风等按:诸分子、母数各不同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰

减分。〕

术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。

〔母互乘子知,以齐其子也。以少减多知,齐故可相减也。母相乘为法者,

同其母也。母同子齐,故如母而一,即得。〕

今有八分之五,二十五分之十六,问孰多?多几何?答曰:二十五分之十六

多,多二百分之三。

又有九分之八,七分之六,问孰多?多几何?答曰:九分之八多,多六十三

分之二。

又有二十一分之八,五十分之十七,问孰多?多几何?答曰:二十一分之八

多,多一千五十分之四十三。

○课分

〔淳风等按:分各异名,理不齐一,较其相近之数,故曰课分也。〕

术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。

〔淳风等按:此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意

与减分有异:减分知,求其余数有几;课分知,以其余数相多也。〕

今有三分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减

四分之三者二,三分之二者一,并,以益三分之一,而各平于十二分之七。

又有二分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减

三分之二者一,四分之三者四、并,以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。

○平分

〔淳风等按:平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平

分也。〕

术曰:母互乘子,

〔齐其子也。〕

副并为平实。

〔淳风等按:母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当损益知,

限为平。〕

母相乘为法。

〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。〕

以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

〔此当副置列数除平实,若然则重有分,故反以列数乘同齐。

淳风等按:问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。平三知,置位三

重;平二知,置位二重。凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。〕

以平实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。

今有七人,分八钱三分钱之一。问人得几何?答曰:人得一钱二十一分钱之

四。

又有三人三分人之一,分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何?答曰:

人得二钱八分钱之一。

○经分

〔淳风等按:经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求一人之分。以

人数分所分,故曰经分也。〕

术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之。

〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。以母通之者,分母乘全内子。

乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。凡数相与者谓之率。率知,

自相与通。有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。故散分者,必令

两分母相乘法实也。〕

重有分者同而通之。

〔又以法分母乘实,实分母乘法。此谓法、实俱有分,故令分母各乘全分内

子,又令分母互乘上下。〕

今有田广七分步之四,从五分步之三,问为田几何?答曰:三十五分步之十

二。

又有田广九分步之七,从十一分步之九,问为田几何?答曰:十一分步之七。

又有田广五分步之四,从九分步之五,问为田几何?答曰:九分步之四。

○乘分

〔淳风等按:乘分者,分母相乘为法,子相乘为实,故曰乘分。〕

术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。

〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分,以乘其实而长之,则亦满法,乃

为全耳。又以子有所乘,故母当报除。报除者,实如法而一也。今子相乘则母各

当报除,因令分母相乘而连除也。此田有广从,难以广谕。设有问者曰:马二十

匹,直金十二斤。今卖马二十匹,三十五人分之,人得几何?答曰:三十五分斤

之十二。其为之也,当如经分术,以十二斤金为实,三十五人为法。设更言马五

匹,直金三斤。今卖马四匹,七人分之,人得几何?答曰:人得三十五分斤之十

二。其为之也,当齐其金、人之数,皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者,

犹齐其金也;母相乘为法者,犹齐其人也。同其母为二十,马无事于同,但欲求

齐而已。又,马五匹,直金三斤,完全之率;分而言之,
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