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九章算术-第14部分

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和漆一斗八升四分升之三。

术曰:假令出漆九升,不足六升;令之出漆一斗二升,有余二升。

〔按:此术三斗之漆,出九升,得油一斗二升,可和漆一斗五升,余有二斗

一升,则六升无油可和,故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升,则易得油一斗

六升,可和漆二斗。于三斗之中已出一斗二升,余有一斗八升。见在油合和得漆

二斗,则是有余二升。以盈、不足维乘之,为实。并盈、不足为法。实如法而一,

得出漆升数。求油及和漆者,四、五各为所求率,三、四各为所有率,而今有之,

即得也。〕

今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两。今有石立方三寸,中有玉,并

重十一斤。问玉、石重各几何?答曰:玉一十四寸,重六斤二两。石一十三寸,

重四斤一十四两。

术曰:假令皆玉,多十三两;令之皆石,不足一十四两。不足为玉,多为石。

各以一寸之重乘之,得玉、石之积重。

〔立方三寸是一面之方,计积二十七寸。玉方一寸重七两,石方一寸重六两,

是为玉、石重差一两。假令皆玉,合有一百八十九两。课于一十一斤,有余一十

三两。玉重而石轻,故有此多。即二十七寸之中有十三寸,寸损一两,则以为石

重,故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石,合有一百六十二两。课于

十一斤,少十四两,故曰不足。此不足即以重为轻。故令减少数于并重,即二十

七寸之中有十四寸,寸增一两也。〕

今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百。今并买一顷,价钱一万。问善、

恶田各几何?答曰:善田一十二亩半。恶田八十七亩半。

术曰:假令善田二十亩,恶田八十亩,多一千七百一十四钱七分钱之二;令

之善田一十亩,恶田九十亩,不足五百七十一钱七分钱之三。

〔按:善田二十亩,直钱六千;恶田八十亩,直钱五千七百一十四、七分钱

之二,课于一万,是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩,直钱三千;

恶田九十亩,直钱六千四百二十八、七分钱之四;课于一万,是为不足五百七十

一、七分钱之三。以盈不足术求之也。〕

今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重,适等。交易其一,金轻十三两。问

金、银一枚各重几何?答曰:金重二斤三两一十八铢。银重一斤一十三两六铢。

术曰:假令黄金三斤,白银二斤一十一分斤之五,不足四十九,于右行。令

之黄金二斤,白银一斤一十一分斤之七,多一十五,于左行。以分母各乘其行内

之数。以盈、不足维乘所出率,并,以为实。并盈、不足为法。实如法,得黄金

重。分母乘法以除,得银重。约之得分也。

〔按:此术假令黄金九,白银一十一,俱重二十七斤。金,九约之,得三斤;

银,一十一约之,得二斤一十一分斤之五;各为金、银一枚重数。就金重二十七

斤之中减一金之重,以益银,银重二十七斤之中减一银之重,以益金,则金重二

十六斤一十一分斤之五,银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多,则金轻一十

七两一十一分两之五。课于一十三两,多四两一十一分两之五。通分内子言之,

是为不足四十九。又令之黄金九,一枚重二斤,九枚重一十八斤;白银一十一,

亦合重一十八斤也。乃以一十一除之,得一斤一十一分斤之七,为银一枚之重数。

今就金重一十八斤之中减一枚金,以益银;复减一枚银,以益金,则金重一十七

斤一十一分斤之七,银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多,即金轻一十一分

斤之八。课于一十三两,少一两一十一分两之四。通分内子言之,是为多一十五。

以盈不足为之,如法,得金重。分母乘法以除者,为银两分母,故同之。须通法

而后乃除,得银重。余皆约之者,术省故也。〕

今有良马与驽马发长安,至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里,

日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里。良马先至齐,复还迎驽马。问

几何日相逢及各行几何?答曰:一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。

良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里一

百九十一分里之一百四十五。

术曰:假令十五日,不足三百三十七里半;令之十六日,多一百四十里。以

盈、不足维乘假令之数,并而为实。并盈、不足为法。实如法而一,得日数。不

尽者,以等数除之而命分。求良马行者:十四乘益疾里数而半之,加良马初日之

行里数,以乘十五日,得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里数,加良马初日之

行。以乘日分子,如日分母而一。所得,加前良马凡行里数,即得。其不尽而命

分。求驽马行者:以十四乘半里,又半之,以减驽马初日之行里数,以乘十五日,

得驽马十五日之凡行。又以十五日乘半里,以减驽马初日之行,余,以乘日分子,

如日分母而一。所得,加前里,即驽马定行里数。其奇半里者,为半法。以半法

增残分,即得。其不尽者而命分。

〔按:“令十五日,不足三百三十七里半”者,据良马十五日凡行四千二百

六十里,除先去齐三千里,定还迎驽马一千二百六十里;驽马十五日凡行一千四

百二里半,并良、驽二马所行,得二千六百六十二里半。课于三千里,少三百三

十七里半。故曰不足。“令之十六日,多一百四十里”者,据良马十六日凡行四

千六百四十八里;除先去齐三千里,定还迎驽马一千六百四十八里,驽马十六日

凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行,得三千一百四十里。课于三千里,

余有一百四十里。故谓之多也。以盈不足之,实如法而一,得日数者,即设差不

盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日,为一十五日平行数。求初末益疾

减迟之数者,并一与十四,以十四乘而半之,为中平之积。又令益疾减迟里数乘

之,各为减益之中平里。故各减益平行数,得一十五日定行里。若求后一日,以

十六日之定行里数乘日分子,如日分母而一,各得日分子之定行里数。故各并十

五日定行里,即得。其驽马奇半里者,法为全里之分,故破半里为半法,以增残

分,即合所问也。〕

今有人持钱之蜀贾,利十,三。初返归一万四千,次返归一万三千,次返归

一万二千,次返归一万一千,后返归一万。凡五返归钱,本利俱尽。问本持钱及

利各几何?答曰:本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千

八百七十六。利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万

六千四百一十七。

术曰:假令本钱三万,不足一千七百三十八钱半;令之四万,多三万五千三

百九十钱八分。

〔按:假令本钱三万,并利为三万九千;除初返归留,余,加利为三万二千

五百;除二返归留,余,又加利为二万五千三百五十;除第三返归留,余,又加

利为一万七千三百五十五;除第四返归留,余,又加利为八千二百六十一钱半;

除第五返归留,合一万钱,不足一千七百三十八钱半。若使本钱四万,并利为五

万二千;除初返归留,余,加利为四万九千四百;除第二返归留,余,又加利为

四万七千三百二十;除第三返归留,余,又加利为四万五千九百一十六;除第四

返归留,余,又加利为四万五千三百九十钱八分;除第五返归留,合一万,余三

万五千三百九十钱八分,故曰多。

又术:置后返归一万,以十乘之,十三而一,即后所持之本。加一万一千,

又以十乘之,十三而一,即第四返之本。加一万二千,又以十乘之,十三而一,

即第三返之本。加一万三千,又以十乘之,十三而一,即第二返之本。加一万四

千,又以十乘之,十三而一,即初持之本。并五返之钱以减之,即利也。〕

今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠

日自半。问几何日相逢?各穿几何?答曰:二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四

寸十七分寸之一十二,小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。

术曰:假令二日,不足五寸;令之三日,有余三尺七寸半。

〔大鼠日倍,二日合穿三尺;小鼠日自半,合穿一尺五寸;并大鼠所穿,合

四尺五寸。课于垣厚五尺,是为不足五寸。令之三日,大鼠穿得七尺,小鼠穿得

一尺七寸半。并之,以减垣厚五尺,有余三尺七寸半。以盈不足术求之,即得。

以后一日所穿乘日分子,如日分母而一,即各得日分子之中所穿。故各增二日定

穿,即合所问也。〕

卷八

○方程(以御错糅正负)

今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,

下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、

中、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗

之一。下禾一秉二斗四分斗之三。

方程

〔程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率。二物者再程,

三物者三程,皆如物数程之。并列为行,故谓之方程。行之左右无所同存,且为

有所据而言耳。此都术也,以空言难晓,故特系之禾以决之。又列中、左行如右

行也。〕

术曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗于右方。中、左禾列

如右方。以右行上禾遍乘中行,而以直除。

〔为术之意,令少行减多行,反复相减,则头位必先尽。上无一位,则此行

亦阙一物矣。然而举率以相减,不害余数之课也。若消去头位,则下去一物之实。

如是叠令左右行相减,审其正负,则可得而知。先令右行上禾乘中行,为齐同之

意。为齐同者,谓中行直减右行也。从简易虽不言齐同,以齐同之意观之,其义

然矣。〕

又乘其次,亦以直除。

〔复去左行首。〕

然以中行中禾不尽者遍乘左行,而以直除。

〔亦令两行相去行之中禾也。〕

左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。

〔上、中禾皆去,故余数是下禾实,非但一秉。欲约众秉之实,当以禾秉数

为法。列此,以下禾之秉数乘两行,以直除,则下禾之位皆决矣。各以其余一位

之秉除其下实。即计数矣用算繁而不省。所以别为法,约也。然犹不如自用其旧。

广异法也。〕

求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。

〔此谓中两禾实,下禾一秉实数先见,将中秉求中禾,其列实以减下实。而

左方下禾虽去一,以法为母,于率不通。故先以法乘,其通而同之。俱令法为母,

而除下禾实。以下禾先见之实令乘下禾秉数,即得下禾一位之列实。减于下实,

则其数是中禾之实也。〕

余,如中禾秉数而一,即中禾之实。

〔余,中禾一位之实也。故以一位
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