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九章算术-第16部分

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以正负术入之。

〔此入,头位异名相除者,正无入正之,负无入负之也。〕

今有令一人,吏五人,从者一十人,食鸡一十;令一十人,吏一人,从者五

人,食鸡八;令五人,吏一十人,从者一人,食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几

何?答曰令一人食一百二十二分鸡之四十五。吏一人食一百二十二分鸡之四十一。

从者一人食一百二十二分鸡之九十七。

术曰:如方程。以正负术入之。

今有五羊,四犬,三鸡,二兔,直钱一千四百九十六;四羊,二犬,六鸡,

三兔,直钱一千一百七十五;三羊,一犬,七鸡,五兔,直钱九百五十八;二羊,

三犬,五鸡,一兔,直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何?答曰:羊价

一百七十七。犬价一百二十一。鸡价二十三。兔价二十九。

术曰:如方程。以正负术入之。

今有麻九斗,麦七斗,菽三斗,荅二斗,黍五斗,直钱一百四十;麻七斗,

麦六斗,菽四斗,荅五斗,黍三斗,直钱一百二十八;麻三斗,麦五斗,菽七斗,

荅六斗,黍四斗,直钱一百一十六;麻二斗,麦五斗,菽三斗,荅九斗,黍四斗,

直钱一百一十二;麻一斗,麦三斗,菽二斗,荅八斗,黍五斗,直钱九十五。问

一斗直几何?荅曰:麻一斗七钱。麦一斗四钱。菽一斗三钱。荅一斗五钱。黍一

斗六钱。

术曰:如方程。以正负术入之。

〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。其拙于精理徒按本术者,

或用算而布毡,方好烦而喜误,曾不知其非,反欲以多为贵。故其算也,莫不暗

于设通而专于一端。至于此类,苟务其成,然或失之,不可谓要约。更有异术者,

庖丁解牛,游刃理间,故能历久其刃如新。夫数,犹刃也,易简用之则动中庖丁

之理。故能和神爱刃,速而寡尤。凡九章为大事,按法皆不尽一百算也。虽布算

不多,然足以算多。世人多以方程为难,或尽布算之象在缀正负而已,未暇以论

其设动无方,斯胶柱调瑟之类。聊复恢演,为作新术,著之于此,将亦启导疑意。

网罗道精,岂传之空言?记其施用之例,著策之数,每举一隅焉。

方程新术曰:以正负术入之。令左、右相减,先去下实,又转去物位,则其

求一行二物正负相借者,是其相当之率。又令二物与他行互相去取,转其二物相

借之数,即皆相当之率也。各据二物相当之率,对易其数,即各当之率也。更置

成行及其下实,各以其物本率今有之,求其所同。并,以为法。其当相并而行中

正负杂者,同名相从,异名相消,余,以为法。以下置为实。实如法,即合所问

也。一物各以本率今有之,即皆合所问也。率不通者,齐之。

其一术曰:置群物通率为列衰。更置成行群物之数,各以其率乘之,并,以

为法。其当相并而行中正负杂者,同名相从,异名相消,余为法。以成行下实乘

列衰,各自为实。实如法而一,即得。

以旧术为之。凡应置五行。今欲要约,先置第三行,减以第四行,又减第五

行;次置第二行,以第二行减第一行,又减第四行。去其头位;余,可半;次置

右行及第二行。去其头位;次以右行去第四行头位,次以左行去第二行头位,次

以第五行去第一行头位;次以第二行去第四行头位;余,可半;以右行去第二行

头位,以第二行去第四行头位。余,约之为法、实。实如法而一,得六,即有黍

价。以法治第二行,得荅价,右行得菽价,左行得麦价,第三行麻价。如此凡用

七十七算。

以新术为此。先以第四行减第三行;次以第三行去右行及第二行、第四行下

位,又以减左行下位,不足减乃止;次以左行减第三行下位,次以第三行去左行

下位。讫,废去第三行。次以第四行去左行下位,又以减右行下位;次以右行去

第二行及第四行下位;次以第二行减第四行及左行头位;次以第四行减左行菽位,

不足减乃止;次以左行减第二行头位,余,可再半;次以第四行去左行及第二行

头位,次以第二行去左行头位,余,约之,上得五,下得三,是菽五当荅;次以

左行去第二行菽位,又以减第四行及右行菽位,不足减乃止;次以右行减第二行

头位,不足减乃止;次以第二行去右行头位,次以左行去右行头位;余,上得六,

下得五,是为荅六当黍五;次以左行去右行荅位,余,约之,上为二,下为一;

次以右行去第二行下位,以第二行去第四行下位,又以减左行下位;次,左行去

第二行下位,余,上得三,下得四,是为麦三当菽四;次以第二行减第四行下位;

次以第四行去第二行下位;余,上得四,下得七,是为麻四当麦七。是为相当之

率举矣。据麻四当麦七,即麻价率七而麦价率四;又麦三当菽四,即为麦价率四

而菽价率三;又菽五当荅三,即为菽价率三而荅价率五;又荅六当黍五,即为荅

价率五而黍价率六;而率通矣。更置第三行,以第四行减之,余有麻一斗,菽四

斗正,荅三斗负,下实四正。求其同为麻之数,以菽率三、荅率五各乘其斗数,

如麻率七而一,菽得一斗七分斗之五正,荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为

麻。以并之,令同名相从,异名相消,余得定麻七分斗之四,以为法。置四为实,

而分母乘之,实得二十八,而分子化为法矣以法除得七,即麻一斗之价。置麦率

四、菽率三、荅率五、黍率六,皆以麻乘之,各自为实。以麻率七为法。所得即

各为价。亦可使置本行实与物同通之,各以本率今有之,求其本率所得。并,

以为法。如此,即无正负之异矣,择异同而已。又可以一术为之。置五行通率,

为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六,以为列衰。成行麻一斗,菽四斗正,荅三斗

负,各以其率乘之。讫,令同名相从,异名相消,余为法。又置下实乘列衰,所

得各为实。此可以置约法,则不复乘列衰,各以列衰为价。如此则凡用一百二十

四算也。〕

卷九

○句股(以御高深广远)

今有句三尺,股四尺,问为弦几何?答曰:五尺。

今有弦五尺,句三尺,问为股几何?答曰:四尺。

今有股四尺,弦五尺,问为句几何?答曰:三尺。

句股

〔短面曰句,长面曰股,相与结角曰弦。句短其股,股短其弦。将以施于诸

率,故先具此术以见其源也。〕

术曰:句、股各自乘,并,而开方除之,即弦。

〔句自乘为朱方,股自乘为青方。令出入相补,各从其类,因就其余不移动

也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。〕

又,股自乘,以减弦自乘。其余,开方除之,即句。

〔淳风等按:此术以句、股幂合成弦幂。句方于内,则句短于股。令股自乘,

以减弦自乘,余者即句幂也。故开方除之,即句也。〕

又,句自乘,以减弦自乘。其余,开方除之,即股。

〔句、股幂合以成弦幂,令去其一,则余在者皆可得而知之。〕

今有圆材,径二尺五寸。欲为方版,令厚七寸,问广几何?答曰:二尺四寸。

术曰:令径二尺五寸自乘,以七寸自乘,减之。其余,开方除之,即广。

〔此以圆径二尺五寸为弦,版厚七寸为句,所求广为股也。〕

今有木长二丈,围之三尺。葛生其下,缠木七周,上与木齐。问葛长几何?

答曰:二丈九尺。

术曰:以七周乘围为股,木长为句,为之求弦。弦者,葛之长。

〔据围广,求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管,青线宛转,有似葛之缠木。

解而观之,则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长,弦。七周乘围,并合众

句以为一句;木长而股,短;术云木长谓之股,言之倒。句与股求弦,亦无围。

弦之自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂,明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之

中而已。可更相表里,居里者则成方幂,其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。

又按:此图句幂之矩青,卷白表,是其幂以股弦差为广,股弦并为袤,而股幂方

其里。股幂之矩青,卷白表,是其幂以句弦差为广,句弦并为袤,而句幂方其里。

是故差之与并用除之,短、长互相乘也。〕

今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭

长各几何?答曰:水深一丈二尺。葭长一丈三尺。

术曰:半池方自乘,

〔此以池方半之,得五尺为句;水深为股;葭长为弦。以句、弦见股,故令

句自乘,先见矩幂也。〕

以出水一尺自乘,减之。

〔出水者,股弦差。减此差幂于矩幂则除之。〕

余,倍出水除之,即得水深。

〔差为矩幂之广,水深是股。令此幂得出水一尺为长,故为矩而得葭长也。〕

加出水数,得葭长。

〔淳风等按:此葭本出水一尺,既见水深,故加出水尺数而得葭长也。〕

今有立木,系索其末,委地三尺。引索却行,去本八尺而索尽。问索长几何?

答曰:一丈二尺六分尺之一。

术曰:以去本自乘,

〔此以去本八尺为句,所求索者,弦也。引而索尽、开门去阃者,句及股弦

差,同一术。去本自乘者,先张矩幂。〕

令如委数而一。

〔委地者,股弦差也。以除矩幂,即是股弦并也。〕

所得,加委地数而半之,即索长。

〔子不可半者,倍其母。加差者并,则两长。故又半之。其减差者并,而半

之,得木长也。〕

今有垣高一丈,倚木于垣,上与垣齐。引木却行一尺,其木至地。问木长几

何?答曰:五丈五寸。

术曰:以垣高一十尺自乘,如却行尺数而一。所得,以加却行尺数而半之,

即木长数。

〔此以垣高一丈为句,所求倚木者为弦,引却行一尺为股弦差。为术之意与

系索问同也。〕

今有圆材埋在壁中,不知大小。以锯锯之,深一寸,锯道长一尺。问径几何?

答曰:材径二尺六寸。

术曰:半锯道自乘,

〔此术以锯道一尺为句,材径为弦,锯深一寸为股弦差之一半。锯道长是半

也。

淳风等按:下锯深得一寸为半股弦差。注云为股差差者,锯道也。〕

如深寸而一,以深寸增之,即材径。

〔亦以半增之。如上术,本当半之,今此皆同半,故不复半也。〕

今有开门去阃一尺,不合二寸。问门广几何?答曰:一丈一寸。

术曰:以去阃一尺自乘。所得,以不合二寸半之而一。所得,增不合之半,

即得门广。

〔此去阃一尺为句,半门广为弦,不合二寸以半之,得一寸为股弦差。求弦,

故当半之。今次以两弦为广数,故不复半之也。〕

今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈。问户高、广各几何?答曰:广

二尺八寸。高九尺六寸。

术曰:令一丈自乘为实。半相多,令自乘,倍之,减实。半其余,以开方除

之。所得,减相多之半,即户广;加相多之半,即户高。

〔令户广为句,高为股,两
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