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实。各递降二等，使二率降为四率，四率降为六率，得前率分数为法。以法除实，得四率一分，为一自乘数；六率九分，为三自乘数；八率二十五分，为五自乘数；十率四十九分，为七自乘数；十二率八十一分，为九自乘数；十四率一百二十一分，为十一自乘数；十六率一百六十九分，为十三自乘数：故以一、三、五、七、九等数各自乘为屡次乘数。次求通弦法，求得十、百、千、万诸分弧正矢率数，比例得弧背求正矢，应减五率十二分之一，加七率三十分之一，减九率五十六分之一，加十一率九十分之一，减十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，减十七率二百四十分之一；而十二为三四相乘数，三十为五六相乘数，五十六为七八相乘数，九十为九与十相乘数，一百三十二为十一与十二相乘数，一百八十二为十三与十四相乘数，二百四十为十五与十六相乘数，故以三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，为屡次除数。又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一万四千四百分，十五率五十一万八千四百分，十七率二千五百四十万一千六百分，为后率分数，各递降二等为前率分数。如前通弦法，除得五率一分为一自乘数，七率四分为二自乘数，九率九分为三自乘数，十一率十六分为四自乘数，十三率二十五分为五自乘数，十五率三十六分为六自乘数，十七率四十九为七自乘数，故以一、二、三、四、五等数各自乘，为屡次乘数。书未成而卒，子新续之。

新，字景臻，安图季子。充食俸生。安图病且革，以所著捷法授之，新遵父命，与门下士陈际新、张肱共续成之。

陈际新，字舜五，宛平诸生。官灵台郎，为监正。续明安图割圜密率捷法，寻绪推究，质以生前面授之言。至乾隆甲午，始克成书。

刘湘煃，字允恭，江夏人。闻梅文鼎以历算名当世，鬻产走千馀里，受业其门，湛思积悟，多所创获。文鼎得之甚喜，曰：“刘生好学精进，启予不逮！”其与人书曰：“金、水二星，历指所说未彻，得刘生说，而后二星之有岁轮，其理确不可易。”因以所著历学疑问嘱之讨论，湘煃为著订补三卷。又谓历法自汉、唐以来，五星最疏，故其迟、留、伏、逆皆入于占，至元郭守敬出，而五星始有推步经度之法，而纬则犹未备。西法旧亦未有纬度，至地谷而后有五星纬度，已在守敬后矣。历书有法原、法数，并为历法统宗。法原者，七政与交食之历指也；法数者，七政与交食经纬之表也，故历指实为造表之根本。今历所载金、水，历指如其法以造表，则与所步之表不合，如其表以推算测天，则又密合，是历虽有表数，而犹未知立表之根也。”乃作五星法象五卷，文鼎深契其说，摘其要目为五星纪要。

湘煃又欲为浑盖通宪天盘安星之用，以戊辰历元加岁差，用弧三角法，作恆星经纬表根一卷，及月离交均表根、黄白距度表根各一卷，皆补新法所未及也。所著又有论日、月食算稿各一卷，各省北极出地图说一卷，答全椒吴荀淑历算十问书一卷。

王元启，字宋贤，号惺斋，嘉兴人。乾隆辛未进士，授将乐县知县。究心律历句股之学，著书已刻者为惺斋杂著。内有史记、汉书正譌两种，其正史记之譌者，为律书、历书、天官书各一卷；正汉书之譌者，为律历志上下二卷。未刻者为历法记疑、句股衍、角度衍、九章杂论。而句股衍一书，因繁求简，最为精晰。分甲、乙、丙三集，甲集术原三卷，乙集纲要二卷，丙集晰义四卷。甲集首卷通论术原，为句股因积求边张本。二卷专论立方，因及平方法。三卷专论和数开立方，所以尽立方诸数之变。乙集两卷，为相求法百二十三则之纲要。丙集四卷，即相求法，逐则分晰其义，专取发明立法之意。

其总序曰：“句股弦相求法，参以和较，凡得七十八则，求句股中函数。又有冪积求容员、容方、容纵方，及依弦作底求容方，与句股求外方、外员之数。又有积数与句股和较相求容方，与句股馀数相求之法。综而计之，凡得二十九则。立表测量，得求高、求远、求深三则，重表亦然。旧算书多简略，详者又苦错出无绪。间尝力为区别，使各以类从，先定相求法百十三则。甲申仲秋，复理前绪，逐一布算，捷於旧法，而旧法仍附见，以资参考。至以中函积与弦之所和、所较相求而得句、股、弦之正数，旧法罕见，今亦窃拟一法，以附於后。又别创截弦分两，及补句求股、补股求句之法，分为六则，使不成句股之形，亦化为句股。并载不成句股求中函积二则，容方、容员四则，外切员径一则，员内累求句股六则，凡又一十九则。以该西术三角之算，兼备割员之用。使学者知周髀一经，於术无所不该。后人不能触类旁通，以尽其变，故使西术得出而争胜，其实西术亦出周髀，不能出折句为股之外也。”

又略例引言曰：“算家句股一门，为术最繁，非凿指一数以为布算之准，难以虚领其义。然如广三修四见於经者，特其正例，正例外变例尤多。必欲正变兼呈，则一卷中彼此错出，使阅者耳目数易，转增烦愦。兹特标举略例，亻并不成句股之形亦附见焉，以尽句股之变，而该三角之法。”

又答友问句股书曰：“欲求句股，先学开方，方有正方、纵方之异。纵方则以修广之和、较数开之，其次则求四率比例，有三率求四率之法，有二率求三率之法，又有一率求三率之法。知此即可以知求句、股、弦各无零数法。以三率之中率为主，倍中率为股，首末二率相减为句，相加为弦。依此衍之，得句股略例十数则，然后以句、股、弦为正数，两数相加为和，相减为较。又有句股三数相加减之和较数，弦与和，和弦与较和三数相加之和数也；弦与较，较弦与和较三数相减之较数也。三数相加减，今名之为兼三和较。凡正数和较之数各三，兼三和较各二，共十三数。十三数中，随举两数，即可求句股弦全数。凡得相求法九十四则，而容方、容员、截股分两、立表测量单表、重表之法，犹不与焉。其次则求截弦分两之法，是为一句股分两句股，即可以知不成句股亦可以分两句股。不成句股分两句股，即西法三角算之所由名，今则总以句股概之。其法取大小两句股形，小股与大句同数者合为一形，即为不成句股之形。分之为两，则所谓中垂线者，即小矩之股，大矩之句。以此衍之，又得不成句股略例二十馀则。依类推之，又得合形分两、削形求全二法。合形分两，则有正合形截偶分两、反合形截中分两、偏合形截边分两之法。削形求全，则有削去正矩、偏矩之殊，偏矩中又有浅削、深削之分。知此则句股之学尽矣。”元启尝曰：“我无他长，惟好学深思，心知其意而已。”然其句股术一书，几欲驾梅文鼎而上之，为算术中不可少之书云。

硃鸿，字云陆，秀水人。嘉庆七年进士，改翰林院庶吉士，散馆授编修。擢御史，历给事中，出官督理湖南粮储道。研精算学。同郡钱仪吉譔三国会要，集乾象、景初二术成，尝为作注。乌程陈杰时为台官博士，阳湖董祐诚亦客京邸，皆日从讲数，各出所得相质问。旧无橢圆求周术，为祐诚言，圜柱斜剖，则成橢员，可以句股形求之。祐诚既发明其说，系以图释。初得杜德美割圜九术写本，以示祐诚，创图解三卷。既成，复得密率捷法於李潢家，则蒙古监正明安图师弟续绎之书也，与传写本互异。鸿曾依杜法步算，径一者，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四，周十者，径三一八三零九八八六一八三七九零六七一五三七七六七五四六六九六三八九零五六六六一。徐有玉采入务民义斋算学中。道光十年后，辞官仍居京师，譔考工记车制参解。又评程氏易畴考工创物小记，多所纠正云。

博启，字绘亭，满洲正白旗人。乾隆中，官钦天监监副。尝因句股和较之术，前人论之极详，独句股形中所容之方边、员径、垂线三事，尚缺而未备。爰以三事分配和较，创法六十。惜其书未刊，法不传。今所传者，惟有方边及垂线求句、股、弦一题。法用平行线剖容方冪为四小句股形，借垂线为小句股和，借方边为小弦，求小句小股。以小股与垂线比，若方边与句比；以小句与垂线比，若方边与弦比。道光初，方履亨官监正，每举此题课士。其后得甘泉罗士琳力为表章，博术乃复明于世。

罗论云：“曩者闻方慎菴监正言绘亭监副有是法，失传。因仿监副遗法，用平行线剖半员冪为四小句股形，以半圆径减垂线馀，借为小句股和，借半员为小弦，求得小句、小股。以小股比垂线，若半员径比股；以小股比股，若半员径比弦。又以半员径减方边，得较。用平行线剖较冪为四小句股形，借半员径为小句股和，借较为小弦，求得小句、小股。以小股比半员径，若方边比句；以小句比半员径，若方边比股，以小股比股，若较比弦。用补副监之遗。复用天元术演得三事和较六十题，更立天、地两元为广例二十五术，撰句股容三事拾遗四卷。更试变通其术，御以八线，取方边用方斜率，得容方中之斜线。以垂线为一率，半径为二率，斜线为三率，求得四率为正割。检八线表得度用，与四十五度相加减，得垂线所分之大小两弧，副以半径为一率，垂线为二率，小弧正割为三率，求得四率为句。如以大弧正割为三率，求得四率为股，又如以大小两弧之两正切为三率，求得四率，为大小两弧之两分弦，相亻并得弦馀。二题仿此，其得数同，而尾数有奇零。以八线表所列之数至单位止，单位以下，弃其馀分，故不能如句股与天元所得之密合。或有妄诋天元术不能驭三角和较者，抑知天元创於宋、明之间，安能逆知西法之有三角而豫为立法？要在学者善为会通耳。试设平三角形，有一角而角在两边之中，有大边与对边和，有小边与对边和，求三道及垂线，此西人常法所不能御者。若立天元一术，则任求何边或和数或较数，皆一平方即得。然则天元之与西法，其优劣可见矣。”

许如兰，字芳谷，全椒人。乾隆三十年举人，大挑知县，分发福建。因亲老改江西，历任浮梁、新建等县事。丁忧服阕，赴福建，题补侯官，未履任，会瘴气发，病卒。

如兰性敏，所读书皆究心精妙，於历算始习西法，通薛凤祚所译天步真原、天学会通。时同县山西宁武同知吴烺受梅文鼎学於刘湘煃，如兰因并习梅氏历算。又于乾隆四十年夏，谒戴震于京都，受句股割圜记。四十四年，谒董化星于常州。戴传缉古算经十书，而董则专业薛氏者也。由是兼通中、西之学。

尝谓其弟子胡早春曰：“古人以句股方程列于小学，童而习之，人人能晓，今则老宿不能通其义。一则时尚帖括，视句股为不急之务；再则习为风雅，不屑持筹握算，效畴人子弟所为。噫，过矣！”又谓：“士大夫不精弧矢之术，虽识天文，无益也。畴人算工不明象数之理，虽能步算，无益也。”著有乾象拾遗、春晖楼集诸书，今多散佚。

其存者，